 Автор |
Сообщение |
AlexRock
Гуру
 |
|
| VOIN_FORUMA писал(а): |
Эту штуку можно сделать, но только она будет видна таковой только при одном ракурсе зрения, ИБО у этой штуки должна быть непостоянная, специально рассчитанная ширина полосок, которая при определённом угле зрения и закрутке кажется прямой.
Соображаешь? |
Я твою картинку не совсем понял, но то, что бруски должны быть изогнуты, это для меня понятно. |
|
 |
|
 |
Richard Ferlow
Гуру
 Предупреждений : 2
|
|
| не получится собрать такую штуку в реале, которая будет иметь замкнутый контур. |
|
| |
|
|
VOIN_FORUMA
Продвинутый форумчанин
 |
|
| AlexRock писал(а): |
| Я твою картинку не совсем понял, но то, что бруски должны быть изогнуты, это для меня понятно. |
Если отдельный идеально прямоугольный брусок - параллепипед как-то изогнуть вращением, то его грани больше не будут видны прямыми не под каким углом зрения. Но если этот кривой брусок зафиксировать под каким углом зрения и рассчитать специальным образом переменную ширину его сторон, которые изначально будут кривыми у неизогнутого бруска, то можно создать иллизию прямой грани у изогнутого бруска. THINK ABOUT IT!!!
| Richard Ferlow писал(а): |
| не получится собрать такую штуку в реале, которая будет иметь замкнутый контур. |
Ты какие бритвы предпочитаешь? |
|
| |
|
|
SpeedWay
Озверевший Гонщик
 Предупреждений : 6
|
|
после постов алекса весь мой мозг вынесен....  |
|
| |
|
|
Richard Ferlow
Гуру
Предупреждений : 2
|
|
VOIN_FORUMA
Смотри какой умный.
Ну наверняка еще такие умные есть - покажи же нам неправильные фигуры, сделанные твоим способом, а не с помощью ухищрений. к примеру треугольник я показал как выглядит модель для съемки. |
|
| |
|
|
AlexRock
Гуру
|
|
| VOIN_FORUMA писал(а): |
| Но если этот кривой брусок зафиксировать под каким углом зрения и рассчитать специальным образом переменную ширину его сторон, которые изначально будут кривыми у неизогнутого бруска, то можно создать иллизию прямой грани у изогнутого бруска. |
Это-то понятно. Но картинка создаёт впечатлени треугольника именно из прямых брусков с параллельными гранями-параллелепипедамипрямоугольниками - т. е. как будто бы "всё по честному".
Самое интересное, что, даже если пытаться изгибать и деформировать реальные бруски, чтобы получилась нарисованная иллюзия, то ничего не выйдет хотя бы в том смысле, что неудастся обойти эту реальную фигуру по одной стороне, как это получается на картинке. |
|
| |
|
|
VOIN_FORUMA
Продвинутый форумчанин
|
|
Alex, вот тебе кривая, которая при определённом угле зрения кажется прямой. Берите плостэлин. Я ушёл.
|
|
| |
|
|
Richard Ferlow
Гуру
Предупреждений : 2
|
|
VOIN_FORUMA
конечно ушел, сказал херню и свалил, потому как понял что не вывозишь темы =)
ясен хер кажется - это же проекция. |
|
| |
|
|
AlexRock
Гуру
|
|
VOIN_FORUMA
Вот, ты же это имел ввиду? Мне тут показали, и я прикинул - если сопрягнуть рёбра, как я раньше нарисовал, то можно всю фигурку будет по одной стороне обойти. Вот только как это объяснить - это что, односторонняя поверхность?
 |
|
| |
|
|
AlexRock
Гуру
|
|
| |
|
|
djlab
Гуру
 Предупреждений : 1
|
|
| |
|
|
sog
Гуру
 |
|
| dices_optical_illusion.jpg |
| Описание: |
|
| Размер файла: |
82.95 KB |
| Просмотрено: |
81 раз(а) |
|
|
|
| |
|
|
AlexRock
Гуру
|
|
Всё это, конечно, интересно, но меня вот больше интересует
| AlexRock писал(а): |
| если сопрягнуть рёбра, как я раньше нарисовал, то можно всю фигурку будет по одной стороне обойти. Вот только как это объяснить - это что, односторонняя поверхность? |
|
|
| |
|
|
†ORC†
Адский Черепок
 |
|
| Блин, не получается. А можно инструкцию как это делать? =) |
|
| |
|
|
Richard Ferlow
Гуру
Предупреждений : 2
|
|
AlexRock
какой-нибудь математик объяснит, мол там в таком-то пространстве да - можно обойти. ну обойти по одной стороны можно если она существует - фигура эта =)
sog
Сам делал ? по-моему тут без монтажа не обошлось |
|
| |
|
|
sog
Гуру
|
|
| Richard Ferlow писал(а): |
sog
Сам делал ? по-моему тут без монтажа не обошлось |
не... я слишком туп
Математический институт Клэя присудил Григорию Перельману Премию тысячелетия (Millennium Prize), тем самым официально признав верным доказательство гипотезы Пуанкаре, выполненное российским математиком. Примечательно, что при этом институту пришлось нарушить собственные правила - по ним на получение примерно миллиона долларов, именно таков размер премии, может претендовать только автор, опубликовавший свои работы в рецензируемых журналах. Работа Григория Перельмана формально так и не увидела свет - она осталась набором нескольких препринтов на сайте arXiv.org (один, два и три). Впрочем, не так важно, что стало причиной решения института - присуждение Премии тысячелетия ставит точку в истории длиной более чем в 100 лет.
Кружка, пончик и немного топологии
Прежде чем выяснить, в чем состоит гипотеза Пуанкаре, необходимо разобраться, что это за раздел математики - топология, - к которому эта самая гипотеза относится. Топология многообразий занимается свойствами поверхностей, которые не меняются при определенных деформациях. Поясним на классическом примере. Предположим, что перед читателем лежит пончик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что попить кофе из пончика не получится при всем желании.
Однако тополог скажет, что чашка и пончик - это одно и то же. И объяснит это так: вообразим, что чашка и пончик представляют собой полые внутри поверхности, изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма пончика). Посмотреть, как примерно выглядит этот процесс можно тут.
Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь, например, интуитивно понятно - как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты - характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, - понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре.
Здравый смысл подсказывает нам, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка - понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так - представим, что на поверхности у нас имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой). Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой.
Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть тут), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что "фундаментальная группа многообразия нетривиальна", а если таких петель нет - то тривиальна.
Теперь, чтобы честно сформулировать гипотезу Пуанкаре, любознательному читателю осталось потерпеть еще немного: надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности.
Вернемся на секундочку к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Каждую из них можно разрезать на такие мелкие кусочки, что каждый будет почти напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие - это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства.
Главным "действующим лицом" гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, "по частям" достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушария по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора.
На трехмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: "Если фундаментальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере". Непонятное словосочетание "гомеоморфно сфере" в переводе на неформальный язык означает, что поверхность можно продеформировать в сферу.
Немного истории
Вообще говоря, в математике можно сформулировать большое количество сложных утверждений. Однако что делает ту или иную гипотезу великой, отличает ее от остальных? Как это ни странно, но великую гипотезу отличает большое количество неправильных доказательств, в каждом из которых есть по великой ошибке - неточности, которая зачастую приводит к возникновению целого нового раздела математики.
Так, изначально Анри Пуанкаре, который отличался помимо всего прочего умением совершать гениальные ошибки, сформулировал гипотезу немного в другом виде, чем мы написали выше. Спустя некоторое время он привел контрпример к своему утверждению, который стал известен как гомологическая 3-сфера Пуанкаре, и в 1904 году сформулировал гипотезу уже в современном виде. Сферу, кстати, совсем недавно ученые приспособили в астрофизике - оказалось, что Вселенная вполне может оказаться гомологической 3-сферой Пуанкаре.
Надо сказать, что особого ажиотажа среди коллег-геометров гипотеза не вызвала. Так было до 1934 года, когда британский математик Джон Генри Уайтхед представил свой вариант доказательства гипотезы. Очень скоро, однако, он сам нашел в рассуждениях ошибку, которая позже привела к возникновению целой теории многообразий Уайтхеда.
После этого за гипотезой постепенно закрепилась слава крайне сложной задачи. Многие великие математики пытались взять ее приступом. Например, американский Эр Аш Бинг (R.H.Bing), математик, у которого (абсолютно официально) вместо имени в документах были записаны инициалы. Он предпринял несколько безуспешных попыток доказать гипотезу, сформулировав в ходе этого процесса собственное утверждение - так называемую "гипотезу о свойстве П" (Property P conjecture). Примечательно, что это утверждение, которое рассматривалось Бингом как промежуточное, оказалось чуть ли не сложнее доказательства самой гипотезы Пуанкаре.
Были среди ученых и люди, положившие жизнь на доказательство этого математического факта. Например, известный математик греческого происхождения Кристос Папакириакопоулос. В течение более десяти лет, работая в Принстоне, он безуспешно пытался доказать гипотезу. Он умер от рака в 1976 году.
Описанные работы - это далеко не полный список попыток решения более чем столетней гипотезы. И хотя каждая из работ и привела к возникновению целого направления в математике и может считаться в этом смысле успешной и значимой, доказать гипотезу Пуанкаре окончательно удалось только россиянину Григорию Перельману.
Перельман и доказательство
В 1992 году Григорий Перельман, тогда сотрудник математического института им. Стеклова, попал на лекцию Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи - новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Терстона - факта, из которого гипотеза Пуанкаре получалась как простое следствие. Эти потоки, построенные в некотором смысле по аналогии с уравнениями теплопереноса, заставляли поверхности с течением времени деформироваться примерно так же, как в начале этой статьи мы деформировали двумерные поверхности. Оказалось, что в некоторых случаях результатом такой деформации оказывался объект, структуру которого легко понять. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике.
После лекции Перельман подошел к Гамильтону. Позже он рассказывал, что Ричард его приятно удивил: "Он улыбался и был очень терпелив. Он даже рассказал мне несколько фактов, которые были опубликованы спустя лишь несколько лет. Он сделал это без колебаний. Его открытость и доброта поразили меня. Не могу сказать, что большинство современных математиков ведет себя так."
После поездки в США Перельман вернулся в Россию, где принялся трудиться над решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации (а вовсе не над гипотезой Пуанкаре) втайне от всех. Ничего удивительного, что появление 11 ноября 2002 года первого препринта Перельмана повергло математическую общественность в шок. Спустя некоторое время появилась еще пара работ.
После этого Перельман самоустранился от обсуждения доказательств и даже, говорят, прекратил заниматься математикой. Он не прервал своего уединенного образа жизни даже в 2006 году, когда ему была присуждена Филдсовская премия - самая престижная награда для математиков. Причины такого поведения автора обсуждать не имеет смысла - гений имеет право вести себя странно (например, будучи в Америке Перельман не стриг ногти, позволяя им свободно расти).
Как бы то ни было, доказательство Перельмана зажило отдельной от него жизнью: три препринта не давали покоя математикам современности. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году - крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт собственной работы, по размерам больше напоминающей книгу - 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.
Неожиданный поворот в этой истории наступил в июле этого же года. В журнале Asian Journal of Mathematics появилась статья китайских математиков Сипин Чжу и Хуайдун Цао под названием "Полное доказательство гипотезы геометризации Терстона и гипотезы Пуанкаре". В рамках этой работы результаты Перельмана рассматривались как важные, полезные, но исключительно промежуточные. Данная работа вызвала удивление у специалистов на Западе, однако получила очень одобрительные отзывы на Востоке. В частности, результаты поддержал Шинтан Яу - один из основоположников теории Калаби-Яу, положившей начало теории струн, - а также учитель Цао и Джу. По счастливому стечению обстоятельств именно Яу был главным редактором журнала Asian Journal of Mathematics, в котором была опубликована работа.
После этого математик стал ездить по миру с популярными лекциями, рассказывая о достижениях китайских математиков. В результате возникла опасность, что очень скоро результаты Перельмана и даже Гамильтона окажутся отодвинуты на второй план. Такое в истории математики случалось не раз - многие теоремы, носящие имена конкретных математиков, были придуманы совершенно другими людьми.
Однако этого не случилось и, вероятно, теперь не случится. Вручение премии Клэя Перельману (даже если тот откажется) навсегда закрепило в общественном сознании факт: российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. И неважно, что на самом деле он доказал факт более общий, развив по пути совершенно новую теорию особенностей потоков Риччи. Хотя бы так. Награда нашла героя. |
|
| |
|
|
Richard Ferlow
Гуру
Предупреждений : 2
|
|
| Я бы может стал бы математиком, если бы с самого начала обучения поясняли бы смысл этого для меня бессмыслия =) |
|
| |
|
|
AlexRock
Гуру
|
|
| Richard Ferlow писал(а): |
AlexRock
какой-нибудь математик объяснит, мол там в таком-то пространстве да - можно обойти. ну обойти по одной стороны можно если она существует - фигура эта =) |
Ладно, нарисованную пока оставим в покое, но изогнутую-то можно обойти по одной стороне! Вот это-то как объяснить? Это не в каком-то там пространстве, а в нашем. Понимаете, мы обошли по всем её сторонам, ни разу не оторвав руки, скажем так, и не пересекая рёбер - значит, это одностороння поверхность. Или что?
Ещё раз говорю, что только места сочленений брусков надо сопрягнуть, как я выше рисовал, и всё получится.
  |
|
| |
|
|
VOIN_FORUMA
Продвинутый форумчанин
|
|
| AlexRock писал(а): |
| Вот, ты же это имел ввиду? |
Именно!
 
| AlexRock писал(а): |
| это одностороння поверхность. Или что? |
Это скрученная на определённый угол верёвка, у которой соединены концы. Чего непонятного? Зачем здесь термины?
"Односторонние и двусторонние поверхности"
http://rutube.ru/tracks/2144218.html
| Richard Ferlow писал(а): |
| конечно ушел, сказал херню и свалил, потому как понял что не вывозишь темы =) |
| Richard Ferlow писал(а): |
| Я бы может стал бы математиком, если бы с самого начала обучения поясняли бы смысл этого для меня бессмыслия =) |
Пыщы ыщчо, "мутэматек"! |
|
| |
|
|
AlexRock
Гуру
|
|
| VOIN_FORUMA писал(а): |
| Это скрученная на определённый угол верёвка, у которой соединены концы. Чего непонятного? Зачем здесь термины? |
Просто я считал, что не существует больше односторонних поверхностей без самопересечения, кроме ленты Мёбиуса, да и та - плоская. А эта - объёмная и, глвное, она всё же не верёвка, ибо у неё есть грани (у замкнутой верёвки нет граней, ибо круглая в сечении), а точнее, одна грань - её тоже можно обойти за четыре круга. Опять же, это если скруглить рёбра, как я выше нарисовал.
ОК, спасибо...
(Прочитал в Википедии про разрезание лент Мёбиуса и пошёл резать...) |
|
| |
|
|
|
Аватары: Вкл|Выкл ЮзерИнфо: Вкл|Выкл Подписи: Вкл|Выкл
|
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах
Вы не можете вкладывать файлы
Вы можете скачивать файлы
|
|
